牛顿法

牛顿法（Newton's method），也称为牛顿-拉弗森法（Newton-Raphson method），是一种寻找函数零点或最优解的迭代方法。对于找到函数的最优解，它主要用于解决无约束优化问题，即找到使函数达到极小值或极大值的点。在这种情境下，牛顿法通过迭代地计算导数信息来逐步逼近最优解。

牛顿法的基本思想如下：

1. 函数 f(x) 有一阶导数 f'(x) )和二阶导数 f''(x) 。

2. 从某个初始猜测点 $x_0$ 开始，利用泰勒展开式近似 $f(x)$ 的行为，预测下一个更接近极值点的估计 $x_{n+1}$。

3. 更新公式： $x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$

这个迭代公式会逐步靠近函数的极小点或极大点。

例子：利用牛顿法找到一元二次方程的最优解

考虑一个简单的一元二次方程： $f(x) = x^2 - 4x + 4$

1. 找导数： 一阶导数 f'(x) = 2x - 4

   二阶导数 f''(x) = 2

2. 选择一个初始点： 设定初始点 $x_0 = 0$

3. 应用牛顿法更新公式： 利用牛顿法的更新公式： $x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$

4. 计算：

   • 设 ( n = 0 )，初始点 $( x_0 = 0 ) [ f'(x_0) = 2(0) - 4 = -4 ] [ f''(x_0) = 2 ] [ x_1 = x_0 - \frac{f'(x_0)}{f''(x_0)} = 0 - \frac{-4}{2} = 2 ]$

   • 设 ( n = 1 )，新的点 $( x_1 = 2 ) [ f'(x_1) = 2(2) - 4 = 0 ] [ f''(x_1) = 2 ] [ x_2 = x_1 - \frac{f'(x_1)}{f''(x_1)} = 2 - \frac{0}{2} = 2 ]$

注意到，已经得到 $f'(x_1) = 0$ 且 $f''(x_1) \neq 0$，根据导数定义，这是函数的极小值点。

因此在这个例子中，通过一次迭代，已经找到最优点 $x = 2$。

总结，牛顿法通过利用一阶和二阶导数信息，以迭代方式逐步收敛到目标函数的极值点。在这个一元二次方程中的例子，经由一次迭代即找到极小值点 $x = 2$ 。